مقاله – 
روش های تصویری عمومی برای مسائل بزرگ

مقاله – روش های تصویری عمومی برای مسائل بزرگ

اکتبر 20, 2020 Off By مدیر سایت

 
 ۶۵
۵- ۱ مقدمه ۶۵
 ۶۶
روش آرنولدی سراسری برای مسائل مقدارویژه چندگانه ۶۹
روش آرنولدی سراسری با شروع مجدد ضمنی برای مسائل غیرهرمیتی بزرگ ۷۰
 ۷۷
 ۷۸
 ۸۲
منابع و مآخذ ۸۶
مقدمه
از مسائل مهمی که همواره در جبرخطی مورد بحث است مبحث مقادیرویژه و بردارهای ویژه است. تاکنون روشهای عددی زیادی برای پیداکردن آنها ابداع شده است، اما همگی آنها پاسخگوی نیاز علوم مختلف نیستند. به طور مثال، در شیمی کوانتوم برای پیدا کردن انرژی مولکولی احتیاج به پیدا کردن زوجهای ویژه ماتریسهای با مرتبه بالا میباشد، که روشهای متداول عملا بیاستفاده هستند، علاوه بر آن از آنجا که حل مسائل مقدارویژه ماتریسهای بزرگ با استفاده از روشهای مستقیم، حافظه و محاسبات زیادی لازم دارند و ساختار ماتریس را حفظ نمیکنند. لذا برای ماتریسهای بزرگ مناسب نیستند، در حالی که روشهای تصویری تکراری ساختار ماتریس را حفظ میکنند. بدین صورت که با کوچک کردن ابعاد ماتریس، ماتریس خیلی بزرگ را به ماتریسی متشابه تبدیل میکند که زوجهای ویژه آن نزدیک به ماتریس اولیه است. لذا در این پایاننامه با معرفی روشهایی که از مفهوم و خواص زیرفضاها استفاده میکنند و همچنین با استفاده ازخاصیت شروع مجدد ضمنی، الگوریتم آرنولدی با شروع مجدد را تعریف میکنیم. برای بدست آوردن زوجهای ویژه ماتریسهای بزرگ، روش آرنولدی سراسری [۲]پیشنهاد میشود که برای ماتریس با ابعاد بالا روشی پرهزینه در حافظه و محاسبات است. لذا با معرفی طرح شروع مجدد سعی بر حل این مشکل داریم. در فصل اول تعاریفی از ماتریسها و زیرفضاها آورده می شود سپس در فصل دوم، مروری بر روشهای زیرفضای کرایلف نموده و همچنین طرح شروع مجدد ضمنی معرفی میشود. در فصل سوم، توضیح مختصری از فرآیندهای آرنولدی سراسری ، الگوریتمهای FOM سراسری و GMRES سراسری داریم. در قسمت بعد از این فصل روش آرنولدی سراسری برای مسائل ویژه نامتقارن بزرگ پیشنهاد میشود سپس راه حل بدست آوردن زوجهای ویژه برای ماتریس با ابعاد بزرگ توضیح داده میشود و همچنین چگونگی استفاده از روش آرنولدی سراسری برای حل مسائل ویژه چندگانه بیان میشود. استفاده از طرح شروع مجدد، برای هنگامیکه این روش زوجهای ویژه تقریبی را برای ابعاد بالا بدست نیاورد، ضروری است. لذا در این پایاننامه الگوریتم آرنولدی سراسری با شروع مجدد تعریف میشود. در بخش بعد روش شروع مجدد ضمنی، به الگوریتم سراسری با شروع مجدد ضمنی با مقادیر F-ریتز ناخواسته پیشرفت داده میشود. در پایان الگوریتم آرنولدی سراسری با شروع مجدد ضمنی، با انتقالهای پیشنهادشدهی دقیق همراه میشود. در فصل آخر مثالهای عددی و میزان کارایی الگوریتمها گزارش داده میشوند.
فصل اول
تعاریف
و
مفاهیم پایه
فصل ۱ تعاریف و مفاهیم پایه
در این فصل، به بیان و یادآوری بعضی تعاریف و مفاهیمی که در فصول بعد مورد استفاده قرار میگیرند، پرداخته میشوند.
۱-۱ تعریف تعامد مجموعه
یک مجموعه از بردارهای در ، متعامد یکه است اگر برای هر داشته باشیم : و به ازای هر i ، باشد .
۱-۲ انواع ماتریس ها
ماتریس هرمیتی
ماتریس مربعی هرمیتی است هرگاه ( را ترانهادهی مزدوج ماتریس مینامیم) .
ماتریس جایگشتی
ماتریس مربعی غیرصفر را ماتریس جایگشتی گوییم هرگاه تنها عنصر غیرصفر در هر سطر و ستون آن یک باشد و بقیه عناصر، همگی صفر باشند. بنابراین، اگر یک جایگشت از باشد آنگاه
ماتریس هسنبرگی
ماتریس مربعی را بالاهسنبرگی گوییم اگر برای هر داشته باشیم.
درمقابل، پایین هسنبرگی است اگر برای هر داشته باشیم.
ماتریس مثبت معین
ماتریس متقارن مثبت معین است هرگاه برای هر بردار غیرصفر داشته باشیم .
ماتریس نرمال
ماتریس مربعی نرمال است اگر باشد.
ماتریس متعامد
ماتریس را یک ماتریس متعامد گویند، هرگاه
خواص ماتریس متعامد:
معکوس یک ماتریس متعامد برابر ترانهاده آن میباشد، یعنی:
حاصل ضرب دو ماتریس متعامد نیز یک ماتریس متعامد میباشد.
ماتریس بلوکی
تعریف : فرض کنید یک ماتریس دلخواه باشد، در اینصورت یک ماتریس بلوکی نامیده میشود هرگاه، هریک از درایه هایش یک ماتریس باشد. با فرض اینکه نیز یک ماتریس بلوکی باشد و
، جمع و ضرب آنها به شکل
تعریف میشود. یک ماتریس قطری بلوکی یک ماتریس بلوکی است که هریک از بلوکهای قطری آن یک ماتریس مربعی بوده و دیگر عناصرش صفر باشند.

دانلود متن کامل این پایان نامه در سایت abisho.ir