روش های تصویری عمومی برای مسائل بزرگ- قسمت ۸

روش های تصویری عمومی برای مسائل بزرگ- قسمت ۸

اکتبر 20, 2020 Off By مدیر سایت

بصورت قرارداد در نظر میگیریم. هرچند متعامدسازی گرام اشمیت کلاسیک سریعتر است ولی به دقیقی متعامدسازی گرام اشمیت اصلاح شده نمیباشد برای همین اکثر مواقع کاملا بزرگ است. بنابراین متعامدسازی برای بدست آوردن تعامد مطلوب تکرار میشود.
اصلاحات ممکن مرحلهی که مربوط به تکرار دوم است بصورت زیر است:
همچنین داریم:
از طرفی
برای همین داریم:
تعداد تکرارهای بالاتر ممکن است ولی به ندرت لازم است.
بعد از اجرای الگوریتم ۲-۶ -۱، نسبت آرنولدی به صورت زیر است:
که بوسیلهی موارد زیر قابل دسترس است:
اگر باشد آنگاه روی ماتریس پایا است بدین معنی است که
در واقع موقعیتی مناسب است که
به همین دلیل مقادیر ریتز و بردارهای ریتز، مقادیرویژه و بردارهای ویژه از هستند.
میتوان امیدوار بود که کوچک است آنگاه
آنگاه روی ماتریس پایا است، که با متفاوت است و انحراف آن به وسیلهی است که مقدار آن برابر است. میتوان گفت در شرایط مناسب مقادیرویژه از تقریب خوبی برای مقادیرویژه از هستند.
در ادامه بررسی میکنیم چگونه میتوان یک یافت در صورتی که کوچک باشد.
۲-۷ شروع مجدد ضمنی
ابتدا از تکرار آرنولدی شروع میکنیم
۲-۷ -۱ الگوریتم مرحله ضمنی بروی ماتریس
این الگوریتم پس از فراخوانی الگوریتم ۲-۶-۱ بدست میآید.
مرحله ضمنی بطوریکه بر روی ماتریس با انتقال را بکار میگیریم.
تعریف میکنیم . در واقع ضرب تا از ماتریسهای هسنبرگ یکانی است بطوریکه شامل زیر قطر ناصفر زیر قطر اصلی است.
 
همچنین تعریف میکنیم
آنگاه از الگوریتم ۲-۶-۱ بدست میآوریم:
یا
همانطور که بیان شد دارای مقدار غیر صفر زیر قطر اصلی است. ساختار سطر آخر بصورت زیر است:
تعداد صفرها و تعداد عناصر غیرصفر برابر است و است. حال اگر ستون از ستون در عبارت را در نظر نگیریم داریم:
در ادامه کلیهی نتایجی که تا اینجا کسب نمودیم در الگوریتم ۲-۷-۲ بکار میبریم.
میتوان گفت یک مرحلهی با انتقال ها بردار را به یک چندگانگی از تبدیل میکند. در واقع این اصلاح ساده از تکرار آرنولدی عبارت زیر را میدهد:
۲-۷-۲ الگوریتم شروع مجدد ضمنی آرنولدی(IRA)
ورودی الگوریتم : ماتریس و ماتریس شروع
خروجی الگوریتم: ماتریس هسنبرگی و ماتریس ، و ماتریس نتیجه

منبع فایل کامل این پایان نامه این سایت pipaf.ir است

اولین ستونها در عبارت بدست آمده زیر را میسنجیم
و نتیجه میگیریم. اگر کلیهی مرحله را در نظر بگیریم داریم:
اگر یک مقدارویژه از باشد آنگاه اجزائی از در این مسیر را با بردار ویژه متناظر با آن حذف میکند در واقع اگر نزدیک به یک مقدارویژه از باشد آنگاه تنها دارای جزءهای کوچک بردارهای ویژه متناظر با نزدیکترین مقادیرویژه در این مسیر است. انتخاب دشوار است زیرا همچنان ممکن است در اجرای الگوریتم ۲-۷-۱مقادیر ریتز ناخواسته یکسان بازیابی شوند.
بررسی معیار همگرایی
تعریف میکنیم بطوریکه و آنگاه داریم:
در این فصل روشهای زیرفضای کرایلف که شامل روش آرنولدی، روش هرمیتی لنگزوس و روش ناهرمیتی لنگزوس بود، توضیح داده شد و قضایای کاربردی مربوط به این الگوریتمها نیز بیان شد. مثالهایی برای درک سادهتر این الگوریتمها نیز بیان گردید. در آخر فصل الگوریتم آرنولدی با شروع مجدد معرفی شد. در ادامه روش آرنولدی سراسری برای حل مقدارویژه ماتریسهای بزرگ بیان میشود.
فصل ۳