روش های تصویری عمومی برای مسائل بزرگ- قسمت ۴

روش های تصویری عمومی برای مسائل بزرگ- قسمت ۴

اکتبر 20, 2020 Off By مدیر سایت

۲ـ روش آرنولدی این امکان را فراهم میسازد تا دقیقا به تعداد مورد نیاز مقادیر ویژه را محاسبه نمائیم.
در ادامه چند خاصیت مهم الگوریتم آرنولدی بررسی میشود.
قضیه۲ـ۲: بردارهای پایهای متعامد برای زیرفضایکرایلف زیر تشکیل میدهند.
اثبات: بردارهای با توجه به ساختارشان متعامد هستند؛ از طرف دیگر با استقراء روی نشان میدهیم که هر بردار به صورت میباشد که در آن یک چندجملهای از درجه است. اگر باشد، با قراردادن داریم: ، فرض کنید مطلب فوق برای تمام اعداد صحیح کمتر یا مساوی برقرار باشد، در این صورت داریم:
که نشان میدهد بردار به صورت بسط داده میشود.
قضیه ۲ـ۳ : فرض کنید ماتریس متعامد با ستونهای و یک ماتریس هسنبرگ باشد. که درایههای غیرصفر آن توسط الگوریتم آرنولدی تولید شده است، در این صورت روابط زیر برقرار است:
اثبات: با توجه به روابط و در الگوریتم آرنولدی تساوی زیر به دست میآید.
و این تساوی، رابطه (۲-۳) را اثبات میکند. رابطه (۲-۴) از ضرب ماتریس در دو طرف رابطه (۲-۳) و با توجه به متعامد بودن بردارهای به دست میآید.
این وضعیت در شکل (۴ـ۱) نشان داده شده است. با توجه به شکل، اثر ماتریس روی ماتریس متعامد ، ماتریس به علاوه یک ماتریس با رتبه یک را میدهد.
.
شکل (۴ـ۱) رفتار الگوریتم آرنولدی در فرایند متعامدسازی
نکته: فرض کنیدها مقادیر ویژه ماتریس تولید شده توسط روند آرنولدی باشد، در این صورت تخمینی از بردارهای ریتز متناظر با مقادیر ویژه عبارتند از که در آن بردارویژه متناظر با از ماتریس هسنبرگ است. قضیه زیر ثابت میکند که بردارهای ریتز متناظر با مقادیر ویژه را میتوان به عنوان تقریبی از بردارهای ویژه ماتریس متناظر با مقادیر ویژه بهکار برد.
قضیه ۲ـ۴: فرض کنید بردار ویژه متناظر با مقدار ویژه از ماتریس هسنبرگ باشد و یک تخمین بردار ریتز یعنی باشد، در این صورت داریم:
از این رو
اثباتبا ضرب بردار در دو طرف رابطه داریم:
بنابراین
تذکر: هر چند الگوریتم آرنولدی میتواند تا مرتبه اجرا گردد، در این صورت ماتریس هسنبرگ تولید خواهد شد که تمام مقادیر ویژه ماتریس اولیه را دارا میباشد؛ ولی باید توجه داشت که در این الگوریتم افزایش تعداد اعمال را بسیار زیاد میکند و لذا زمان اجرای محاسبات افزایش یافته و دقت تشابه و متعامدسازی نیز کاهش مییابد.
۲-۳-۲ الگوریتم آرنولدی اصلاح شده گرام اشمیت
الگوریتم آرنولدی بر اساس روند متعامدسازی گرام اشمیت پایهریزی شده است و همانگونه که در فصل اول بیان شد الگوریتم گرام اشمیت اصلاحشده از لحاظ ریاضی معادل الگوریتم گرام اشمیت استاندارد است؛ ولی از لحاظ عددی پایدارتر است. همین موضوع در مورد الگوریتم آرنولدی نیز برقرار است؛ بنابراین اساس الگوریتم آرنولدی روی آن پایهریزی میشود.
الگوریتم این روش به صورت زیر ارائه میشود.
الگوریتم آرنولدی اصلاح شده گرام اشمیت
۱ـ بردار اولیه با نرم یک و بعد از زیرفضای کرایلف را انتخاب کنید.
۲ـ به ازاء مقادیر زیر را محاسبه کنید:
در حساب دقیق ریاضی الگوریتم فوق با الگوریتم قبلی آرنولدی تفاوتی ندارد و تعداد اعمال هر دو یکسان است؛ اما شکل و طراحی الگوریتم باعث شده تا از نقطه نظر عددی خواص بهتری داشته باشد. در جدول (۲ـ۱) دیده میشود که این الگوریتم با الگوریتم آرنولدی استاندارد از لحاظ ریاضی کاملاً معادل است.

دانلود متن کامل پایان نامه در سایت jemo.ir موجود است

Arnoldi-MGS Arnoldi-GS Method
Flops
Storage