روش های تصویری عمومی برای مسائل بزرگ- قسمت ۱۳

روش های تصویری عمومی برای مسائل بزرگ- قسمت ۱۳

اکتبر 20, 2020 Off By مدیر سایت

به صورت یک پایه از که به ازای .
ماتریس شروع با اندازه به صورت است آنگاه به ازای هر ، بدست میآید که بصورت یکتا بسط پیدا میکند :
تعریف میکنیم:
هنگامیکه باشد واضح است رتبهی ناقص سطری دارد. فرض کنید ماتریس برای رتبهی کامل سطری دارد. میتوان فوقالذکر را بصورت زیر نوشت:
بهطوریکه دارای بردارهای ویژه با طول یک که به اختصاص دارد.
طبق فرض روی که ، را همچنین یک پایه از میباشد و برای ، باید وابستهی خطی به به ازای باشد و متعلق به فضای تولید شده توسط است. به عبارت دیگر تعریف میکنیم :
و
آنگاه برای ، رتبهی ستونی کامل دارد درصورتیکه برای دارای رتبهی ناقص ستونی است و کوچکترین مقدارتکین آن نیز برابر صفر است. در ادامه مبحث فرض میکنیم نرمال باشد و همچنین فرض میکنیم که ستونهایی از برای قویاً مستقل خطی است که این بدین معناست که کوچکترین مقدارتکین از کوچک نیست و برای خوش وضع است. این فرض برای یک پایه از درنظر گرفته میشود و بصورت تصادفی تولید میشود.
قضیهی زیر قادر به تعیین مقدار عددی به وسیلهی روش آرنولدی سراسری است.
قضیه۳-۴فرض میکنیم شعاعهای طیفی هستندکه به اختصاص داده میشوند و تعریف میکنیم ماتریس
و آنگاه
ازآنجائیکه عدد شرطی است و قبلا در عبارت تعریف شده است. و کوچکترین مقادیرتکین از ماتریسهای و هستند. به این ترتیب داریم :
بطور دقیق، اگر ، آنگاه
رابطهی درستی در شرط نرم باقیمانده را تخمین میزند؛ از آنجائیکه به صورت عدد شرطی عمل میکند و شرایطی از را اندازه میگیرد.
اگر یکی از و بزرگ باشد و یا تفکیک از تخمین و دیگر مقادیرویژه دقیق خیلی کوچک باشند، بد وضع است. در عبارت میتوان دید که اگر قیاسپذیر با و یا بزرگتر از باشد آنگاه ممکن است کوچک نباشد.
براساس این قضیه میتوان تصمیم گرفت که اگر به ازای به صورت تخمینی از رتبه ناقص ستونی در عبارت باشد و بدینسان چندگانگی قابل تعیین است و میتوان یک پایهی تقریبی را بدست آورد. به عبارت دیگر تخمینی از رتبه ناقص ستونی برای است و دارای رتبهی ستونی کامل برای است. برای همین به ازای برای کوچک نیست.
میتوان گفت را اینگونه در نظر میگیریم:
فرض میکنیم . آنگاه اگر کمترین عدد طبیعی باشد بطوریکه
با یک مقدار ثابت معنادار که کوچکتر از است، بصورت یک گانه و برابر است. در واقع در عمل، یک ثابت شناخته نشده است که میتوان آن را کمتر از در نظر گرفت مثلا یا کوچکتر، که بدین معنی است که به ازای بطور کامل به صورت بدوضع است ؛ حال اگر باشد میتوان گفت برابر یا است. بنابراین اگر قیاسپذیر یا بزرگتر از و معتبر باشد این فرآیند ممکن است برای تشخیص موفق نباشد.
در عمل، داده شده است، یک ماتریس تصادفی ، تعریف شده در عبارت که شرط رتبهی ماتریس بر آن برقرار است، را میسازیم.
با ، اگر مقدارویژه عددی گانه را محاسبه کنیم آنگاه مقدارویژه آن حداقل گانه است به همین دلیل در مواردی که باشد، تشخیص به طور قطع قابل حل نمیباشد. ادامهی نتایج بدست آمده از مقالات [۲۰,۲۱] به روشنی غلبه بر این مشکل را نشان میدهد.
در ابتدا یک ماتریس شروع تصادفی با ستونهای انتخاب میکنیم. اگر یک مقدارویژه گانه یافتیم آنگاه میتوان الگوریتم۳-۴-۱ را با یک ماتریس اولیه شروع جدید با ستونهای به کار گرفت که به صورت تصادفی انتخاب میشود. حال میتوان یک مقدارویژه چندگانه را محاسبه کرد که از نظر عددی با مقدار محاسبهشده با برابر است. سپس میتوان رتبهی ماتریس را تعیین کرد که شامل بردارهای F-ریتز همگرا با مقادیرF-ریتز همگرا چندگانه عددی است.
نکته قابل توجه این است هنگامی که مسئله مقدارویژه از ماتریس در شرایط بدوضع نباشد؛ اگر برخی مقادیرتکین از این ماتریس با مرتبهی یکسان بهصورت ماکزیمم نرمهای باقیمانده از این جفتهای داخلی همگرا باشد آنگاه از نظر عددی آنها را صفر در نظر میگیریم.
اگر رتبهی عددی ماتریس کمتر از باشد، آنگاه چندگانگی این مقدارویژه، رتبهی چنین ماتریسی است. در غیراینصورت الگوریتم (۲) ، با شرط را تکرار میکنیم و تا وقتی که رتبهی عددی ماتریس که شامل این به بردارهای F-ریتز که با شروع میشوند، همگرا شوند که همانطور که انتظار میرود این مقدار کمتر از است. پس میتوان گفت چندگانگی مقدارویژه () قابل تشخیص و برابر با رتبهی عددی ماتریس است.
بطور خلاصه یک الگوریتم آرنولدی سراسری برای مسئلهی مقدارویژه چندگانه را ارائه میشود.
۳-۵-۱ الگوریتم آرنولدی سراسری برای مسائل مقدارویژه چندگانه
ورودی الگوریتم : ماتریس و ماتریس شروع و
خروجی الگوریتم: ماتریس هسنبرگی (مقادیرویژه آن تقریبا با مقادیربرابر است) و مقدار
مجموعه و و و خطا راتعیین می کنیم.
ماتریس شروع ، بطوریکه راانتخاب می کنیم.
به ازای زیرشاخهی الف، ب، ج و د را تکرار میکنیم تا وقتی که همگرا شود.
الف) پایه F-متعامد، را به وسیلهی الگوریتم(۱) بدست میآوریم.
ب) جفت ویژه را توسط ماتریس هسنبرگ نتیجه محاسبه میکنیم و از استفاده میکنیم تا مقادیرویژه خواسته شده را تقریب زده شود.
ج)همگرایی جفتهای ویژه را بررسی می کنیم.
د)اگر کلیه نتیجهها کمتر از بود آنگاه به مرحلهی ۴ می رویم.

دانلود کامل پایان نامه در سایت pifo.ir موجود است.

  1. به ازای کلیهی و مجموعهی m>و تعداد ستونها

الف) رتبهی عددی از برای کلیه را محاسبه می کنیم.
ب) اگر باشد، و را از حذف می کنیم.
ج) در غیر اینصورت، و قرار می دهیم و به مرحلهی ۲ می رویم.