روش های تصویری عمومی برای مسائل بزرگ- قسمت ۲

روش های تصویری عمومی برای مسائل بزرگ- قسمت ۲

اکتبر 20, 2020 Off By مدیر سایت

۱-۳ چند جملهای مشخصه، بردارویژه ، مقدارویژه
اگر یک ماتریس باشد آنگاه چندجملهای چندجملهای مشخصه نامیده میشود. صفرهای چندجملهای مشخصه، مقادیر ویژهی ماتریس نامیده میشود. مقدار ویژه است اگر و فقط اگر یک بردار ناصفر وجود داشته باشد به طوری که . بردار را بردار ویژه(بردار ویژه راست) می گوییم. مجموعهی تمام مقادیر ویژهی ماتریس را طیف ماتریس نامیده و با نشان میدهند و نیز شعاع طیفی ماتریس را با نشان داده که عبارت است از :
در ادامه به تعریف چندجملهای مونیک و چندجملهای مینیمال میپردازیم.
چند جملهای مونیک
چندجملهای که ضریب بزرگترین درجه آن برابر یک است چندجملهای مونیک نامیده میشود. مثلاً
چندجملهای مینیمال
چندجملهای مونیک با کمترین درجه که ماتریس آن را برابر ماتریس صفر کند چندجملهای مینیمال ماتریس نامیده میشود.
محاسبهی چندجملهای مینیمال
فصل را با معرفی نرم ماتریس ادامه میدهیم.
۱-۴ نرمهای یک ماتریس
اگر ماتریس باشد آنگاه نرم ماتریس با همراه با خواص زیر تعریف میشود.
و است اگر و فقط اگر .
برای هر اسکالر c : .
به ازای هر دو ماتریس و داریم: .
حال به تعریف چند نرم شناخته شده میپردازیم.
نرم خطی (نرم یک)
,
نرم بینهایت (ماکسیمم)
نرم بینهایت ماتریس با نمایش داده و بصورت زیر تعریف میشود:
نرم فروبنیوس
نرم فروبنیوس ماتریس را با نمایش داده و بصورت زیر تعریف میشود:
در ادامه به تعریف دو نوع تجزیه یک ماتریس میپردازیم.
۱-۵ تجزیه و
الف- فرض کنید یک ماتریس باشد، آنگاه یک ماتریس متعامد و یک ماتریس بالا مثلثی وجود دارد به طوری که ، که در آن ماتریس به فرم میباشد و ها هریک ماتریس هاوسهولدر میباشند.
ب- فرض کنید یک ماتریس باشد، تجزیه ماتریس عبارت است از تبدیل ماتریس ضرایب به حاصل ضرب دو ماتریس و ، که در آن یک ماتریس پایین مثلثی و یک ماتریس بالامثلثی واحد است (یک ماتریس بالامثلثی که همه عناصر روی قطر اصلی آن یک هستند).
۱-۶ فضاهای ضرب داخلی
الف: یک ضرب داخلی روی زیر فضای برداری عبارت است از یک تابع حقیقی که به هر زوج از بردارهای و عدد حقیقی را اختصاص میدهد بطوریکه برای بردارهای و اسکالر چهار اصل زیر برقرار باشد:
به ازای هر ؛
اگر و فقط اگر
به ازای هر داشته باشیم:
به ازای هر و داشته باشیم: .
یک فضای برداری همراه با یک ضرب داخلی را یک فضای ضرب داخلی مینامند.
ب: دو بردار از یک فضای ضرب داخلی متعامد نامیده میشود، هرگاه
ج: یک مجموعه از بردارها مانند را متعامد گویند، هرگاه
د: مجموعه U را متعامد یکه گویند، هرگاه متعامد باشد و نرم هر بردار متعلق به برابر یک باشد، یعنی
و: مجموعه همه ترکیبات خطی یک مجموعه از بردارهای یک زیر فضای برداری است که مجموعهی همه ترکیبات خطی متناهی نامیده میشود و به صورت زیر نمایش داده میشود:
ه: فرض کنید ، در اینصورت فضای برد و پوچ ماتریس به ترتیب به صورت زیر تعریف میشود:
بنا به تعریف هرگاه ماتریس نامنفرد باشد، آنگاه . اما اگر منفرد باشد، در اینصورت، لذا صفر یک مقدار ویژه ماتریس میباشد، حال اگر بردارهای ویژه نظیر صفر را به دست آوریم اعضای خواهند بود.
۱-۶-۱ زیر فضای کرایلف
یک زیرفضای کرایلف از بعد کمتر یا مساوی متناظر با ماتریس و بردار بصورت زیر تعریف می شود:
هر بردار بصورت نوشته می شود، که در آن یک چندجمله ای از درجه کمتر یا مساوی است.

دانلود متن کامل این پایان نامه در سایت abisho.ir